10-bob: Seriyalar va ketma-ketliklar
Calculus II eslatmalarining Seriyalar va ketma-ketliklar bo'limi uchun topshiriq masalalari to'plami. Shuni esda tutingki, bu muammolarni hal qilishning iloji yo'q. Bular asosan o'qituvchilar uchun mo'ljallangan bo'lib, ular bir qator muammolarni hal qilish uchun topshirilishi mumkin. Yechimlar (yoki hatto yakuniy javoblar) mavjud bo'lsa, muammolarning maqsadini yo'q qiladi.
Ketma-ketliklar - Ushbu bo'limda biz matematika darsidagi ketma-ketlik deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlaymiz va ular bilan ishlatadigan asosiy belgilarni beramiz. Biz ushbu bo'limda asosiy terminologiya, ketma-ketliklar chegaralari va ketma-ketliklarning yaqinlashuviga e'tibor qaratamiz. Shuningdek, ketma-ketliklar bilan ishlashda bizga kerak bo'ladigan ko'plab asosiy faktlar va xususiyatlarni beramiz.
Sequences haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz ketma-ketlikni tekshirishni davom ettiramiz. Biz ketma-ketlikning ortib borayotgan ketma-ketlik yoki kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini va shuning uchun u monotonik ketma-ketlik ekanligini aniqlaymiz. Shuningdek, biz ketma-ketlikni quyida chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlaymiz.
Serial - Asosiy - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorni rasmiy ravishda aniqlaymiz. Shuningdek, biz seriyani boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab asosiy faktlar, xususiyatlar va usullarni beramiz. Shuningdek, biz cheksiz qator yaqinlashishi yoki ajralishini qanday aniqlashni qisqacha muhokama qilamiz (bu mavzuni chuqurroq muhokama qilish keyingi bo'limda bo'ladi).
Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorlarning yaqinlashishi va divergensiyasini batafsilroq ko'rib chiqamiz. Cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun qisman yig'indilar qanday ishlatilishini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda seriyalar uchun Divergentsiya testini beramiz.
Maxsus seriya - Ushbu bo'limda biz muntazam ravishda paydo bo'ladigan yoki biz muhokama qilmoqchi bo'lgan yoqimli xususiyatlarga ega bo'lgan uchta seriyani ko'rib chiqamiz. Biz geometrik seriyalarni, teleskopik seriyalarni va garmonik seriyalarni ko'rib chiqamiz.
Integral test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Integral testdan foydalanishni muhokama qilamiz. Integral testdan ketma-ketlik shartlari ijobiy va kamayuvchi bo'lsa, cheksiz qatorda qo'llanilishi mumkin. Integral testning isboti ham berilgan.
Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralishini aniqlash uchun taqqoslash testi va chegara solishtirish testlaridan foydalanishni muhokama qilamiz. Ikkala testdan foydalanish uchun cheksiz qatorning shartlari ijobiy bo'lishi kerak. Ikkala test uchun dalillar ham berilgan.
Muqobil seriyali test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Alternativ seriyalar testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Muqobil seriyali testdan faqat seriya shartlari bir-birining belgisi bilan almashtirilgan taqdirdagina foydalanish mumkin. Muqobil seriyali testning isboti ham berilgan.
Mutlaq konvergentsiya - Ushbu bo'limda biz mutlaq yaqinlashuv va shartli yaqinlashuv va ularning cheksiz qatorlarning yaqinlashuvi bilan qanday bog'liqligini qisqacha muhokama qilamiz.
Nisbat sinovi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun nisbat testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Nisbat testi har qanday qatorda qo'llanilishi mumkin, ammo afsuski, har doim ham ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javob bera olmaydi. Nisbatan testning isboti ham berilgan.
Ildiz testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun Ildiz testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Ildiz testi har qanday seriyada ishlatilishi mumkin, ammo afsuski, ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javobni har doim ham bera olmaydi. Ildiz testining isboti ham berilgan.
Seriallar uchun strategiya – Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Vazifa topshiriqlari.
Seriyaning qiymatini baholash - Ushbu bo'limda biz integral test, taqqoslash testi, muqobil seriyalar testi va nisbatlar testidan qanday qilib cheksiz qator qiymatini baholash uchun foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Quvvat seriyasi - Ushbu bo'limda biz darajalar qatorining ta'rifini, shuningdek, darajalar qatori uchun yaqinlashish radiusi va yaqinlashuv oralig'ining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz nisbatlar testi va ildiz testidan quvvat seriyasi uchun yaqinlashish radiusi va intervalini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Quvvat seriyalari va funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz konvergent geometrik qator formulasidan ba'zi funktsiyalarni kuch qatori sifatida ifodalash uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Geometrik seriya formulasidan foydalanish uchun funktsiyani ma'lum bir shaklga qo'yish imkoniyati bo'lishi kerak, bu ko'pincha imkonsizdir. Biroq, ushbu formuladan foydalanish funktsiyalarni quvvat seriyasi sifatida qanday ko'rsatish mumkinligini tezda ko'rsatadi. Shuningdek, biz kuch seriyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasini muhokama qilamiz.
Teylor seriyasi – Ushbu bo'limda biz funksiya uchun Teylor/Maclaurin seriyasini qanday topishni muhokama qilamiz. Bu avvalgi bo'limda ko'rib chiqilgan usuldan ko'ra ko'pincha yoqimsiz ish hisobiga juda kengroq turli xil funktsiyalar uchun ishlaydi. Biz, shuningdek, \(x=0\) atrofida \({\bf e}^{x}\) , \(\cos(x)\) va \(\sin(x)\) Teylor qatorlari uchun ba'zi mashhur formulalarni olamiz.
Seriya ilovalari - Ushbu bo'limda biz ketma-ket bir nechta ilovalarni tezda ko'rib chiqamiz. Boshqa usul bilan baholab bo'lmaydigan noaniq integrallar uchun qator ko'rinishini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz funktsiyani taxmin qilish uchun quvvat seriyasining birinchi bir necha shartlaridan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Binom seriyasi – Ushbu bo'limda biz binom teoremasini beramiz va \(n\) butun son bo'lganda, \( \left(a+b\right)^{n}\) ko'rinishidagi atamalarni tezda kengaytirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bundan tashqari, \(n\) butun son bo'lmasa, Binom teoremasining kengaytmasi atamaning darajali seriyali tasvirini berish uchun ishlatilishi mumkin.