5.5-bo'lim : qisman kasrlar
9. Quyidagi ifodalarning har birining qisman kasr parchalanishini aniqlang.
\[\frac{{4{x^3} + 16x + 7}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\]Yechim
Birinchi qadam qisman fraksiyaning parchalanish shaklini aniqlashdir. Ushbu muammo uchun qisman kasr parchalanishi,
\[\frac{{4{x^3} + 16x + 7}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{Ax + B}}{{{x^2} + 4}} + \frac{{Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\]2-qadam
Ushbu ifoda uchun LCD displey \({\left( {{x^2} + 4} \right)^2}\). Shartlarni qo'shish zaxira nusxasini beradi,
\[\frac{{4{x^3} + 16x + 7}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + Cx + D}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\]3-qadam
Numeratorlarni teng belgilash,
\[4{x^3} + 16x + 7 = \left( {Ax + B} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + Cx + D\]4-qadam
Bizda aniqlab bo'lmaydigan kvadrat tenglama mavjud bo'lganligi sababli, ushbu bo'limning birinchi masalalarida qo'llagan usulimiz ishlamaydi. Shunday qilib, biz hamma narsani ko'paytirishimiz va shunga o'xshash shartlarni to'plashimiz kerak.
\[\begin{align*}4{x^3} + 16x + 7 & = A{x^3} + 4Ax + B{x^2} + 4B + Cx + D\\ & = A{x^3} + B{x^2} + \left( {4A + C} \right)x + 4B + D\end{align*}\]5-qadam
Endi biz koeffitsientlarni tenglashtirishimiz kerak. Esda tutingki, bu faqat \({x^3}\) koeffitsientini \({x^2}\), \(x\) va konstantalar koeffitsientlari uchun ikkala tomonga teng va o'xshash tarzda belgilashni anglatadi. Shunday qilib,
\[\begin{align*}A & = 4\\ B & = 0\\ 4A + C & = 16\\ 4B + D & = 7\end{align*}\]6-qadam
Izohlarda aytib o'tilganidek, bu tenglamalar sistemasi bo'lib, biz umuman qanday hal qilish haqida gapirmaganmiz, ammo bu haqiqiy muammo emas. Birinchi ikkita tenglamadan bizda \(A = 4\) va \(B = 0\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.
Buni olganimizdan so'ng, biz \(C\) va \(D\) qiymatlarini aniqlash uchun uni faqat oxirgi ikkita tenglamaga ulashimiz kerak. Mana bu ish,
\[\begin{array}{l}{4\left( 4 \right) + C = 16}\\{4\left( 0 \right) + D = 7}\end{array}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\begin{array}{l}{C = 0}\\{D = 7}\end{array}\]Bu holda ikkita doimiy qiymat nolga teng bo'ldi. Bu ba'zida sodir bo'ladi, lekin umuman olganda, bu sodir bo'lishini oldindan bilishning iloji yo'q, shuning uchun tashvishlanmang. Agar konstantalardan bir yoki bir nechtasi nolga teng bo'lsa, biz buni ishni bajarganimizda aniqlaymiz.
7-qadam
Bunda qisman fraksiya parchalanishi,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{4{x^3} + 16x + 7}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{4x}}{{{x^2} + 4}} + \frac{7}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}}}\]