4.2-bo'lim : Parabolalar
3. Quyidagi parabolaning grafigini chizing. Grafikda cho'qqi, \(y\)-kesish, \(x\)-kesishmalar (agar mavjud bo'lsa) va cho'qqining har ikki tomonida kamida bitta nuqta bo'lishi kerak.
\[f\left( x \right) = 3{x^2} + 7\]Yechim
Avval cho'qqini topamiz. Bu holda biz tenglamani \(f\left( x \right) = a{\left( {x - h} \right)^2} + k\) ko'rinishida deb hisoblashimiz yoki \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) shaklidan foydalanishimiz mumkin. Ikkala shakl ham ishlaydi va qaysi biri eng oson deb topilgani sizga bog'liq bo'ladi. Biz birinchi shakldan foydalanamiz, shunda biz ushbu shaklning boshqa namunasini olamiz.
Tenglamamizni birinchi shaklga keltirish uchun tenglamamizni biroz qayta yozamiz. Keling, shunday yozamiz,
\[f\left( x \right) = 3{x^2} + 7 = 3{\left( {x - 0} \right)^2} + 7\]E'tibor bering, biz tenglamani o'zgartirmadik! Shakllarni moslashtirish uchun biz qilgan yagona narsa \(x = x - 0\) dan foydalanishdir.
Buni bajargandan so'ng, biz cho'qqi : \(\left( {0,7} \right)\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, bu parabola uchun \(a = 3 > 0\) va shuning uchun parabola yuqoriga ochiladi.
2-qadam
Bu holda biz yuqoridagi cho'qqi \(y\) o'qida ekanligini ko'rishimiz mumkin (\(x\) koordinatasi nolga teng!) va shuning uchun u ham parabola uchun \(y\) kesmasidir!
3-qadam
\(x\)-kesishmalar uchun biz faqat \(f\left( x \right) = 0\) tenglamasini yechishimiz kerak. Shunday qilib, keling, tenglamamiz uchun buni hal qilaylik.
\[\begin{align*}3{x^2} + 7 & = 0\\ 3{x^2} & = - 7\\ {x^2} & = - \frac{7}{3}\\ x & = \pm \sqrt { - \frac{7}{3}} = \pm \sqrt {\frac{7}{3}} \,i\end{align*}\]Demak, bu holda bu tenglamaning yechimlari kompleks sonlardir va shuning uchun biz bilamizki, bu parabolada \(x\)-kesishmalari bo'lmaydi.
E'tibor bering, bu muammo uchun \(x\)-kesishmalar bo'lmasligini ko'rish uchun yuqoridagi tenglamani echishimiz shart emas edi. Muqobil usul quyidagi tahlilni o'tkazish bo'ladi.
Birinchi qadamdan biz cho'qqi \(\left( {0,7} \right)\) ekanligini aniqladik, bu \(x\) o'qi ustida joylashgan va biz parabola yuqoriga ochilganligini ham ta'kidladik. Shunday qilib, parabola \(x\) o'qi ustida boshlanadi va yuqoriga ochiladi va biz bilamizki, parabola ma'lum bir yo'nalishda ochilgandan so'ng u aylanmaydi va teskari yo'nalishda keta boshlaydi. Shuning uchun, chunki parabola uchun hech qanday yo'l yo'q pastga \(x\) o'qiga, bu muammo uchun \(x\)-kesishmalar bo'lishi mumkin emas.
4-qadam
Bu holda bizda \(x\)-kesishmalar yo'q edi va \(y\)-kesishuvi ham cho'qqi bo'ladi. Shunday qilib, bizda grafikda faqat bitta nuqta bor. Cho'qqining har ikki tomonida ochkolarni olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu cho'qqining har ikki tomonidagi nuqtalarni topish uchun bir nechta tezkor funktsiyani baholash.
Biz quyidagi ikkita nuqtadan foydalanamiz.
\[\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 2,19} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) = \left( {2,19} \right)\]5-qadam
Mana, biz yuqorida topilgan barcha nuqtalarni o'z ichiga olgan parabolaning eskizi.
