4.4-bo'lim : Giperbolalar
5. Tenglamaning \(x\) va \(y\) qismlaridagi kvadratni to‘ldiring va tenglamani giperbola tenglamasining standart ko‘rinishiga yozing.
\[25{y^2} + 250y - 16{x^2} - 32x + 209 = 0\]Yechim
Bu erda bo'ladigan jarayon biz oldingi bo'limda ellips tenglamalarini standart shaklda yozish uchun ishlatgan jarayon bilan bir xil bo'ladi.
Birinchi qadam \({x^2}\) va \({y^2}\) koeffitsientlari bitta ekanligiga ishonch hosil qilishdir. \({x^2}\) koeffitsienti -16, \({y^2}\) esa 25 koeffitsientga ega. Biz qiladigan narsa \(x\) ishtirokidagi har bir haddan a -16 va \(y\) ishtirokidagi har doimgidan 25 ta koeffitsientni olamiz. Shunday qilib,
\[25\left( {{y^2} + 10y} \right) - 16\left( {{x^2} + 2x} \right) + 209 = 0\]2-qadam
Endi kvadratni to'ldirishni boshlaylik. Birinchidan, bizga \(x\) va \(y\) atamalarining yarmi koeffitsienti kerak, har birining kvadrati va bu raqamlarni tegishli joylarda quyidagi tarzda qo'shish/ayirish,
\[\require{color}{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} = {\left( 5 \right)^2} = \,{\color{Red} 25}\hspace{0.25in}{\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} = {\left( 1 \right)^2} = \,{\color{ProcessBlue} 1}\] \[\require{color}25\left( {{y^2} + 10y \,{\color{Red} + 25 - 25}} \right) - 16\left( {{x^2} + 2x \,{\color{ProcessBlue}+ 1 - 1}} \right) + 209 = 0\]Bu raqamlarni qo'shish/ayirishda ehtiyot bo'ling va ularni qavs ichiga qo'yganingizga ishonch hosil qiling!
3-qadam
Keyinchalik, biz \(x\) va \(y\) shartlarini faktorga kiritishimiz va barcha konstantalarni qo'shishimiz kerak.
\[\require{color}\begin{align*}25\left( {{{\left( {y + 5} \right)}^2} \,{\color{Red} - 25}} \right) - 16\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} \,{\color{ProcessBlue}- 1}} \right) + 209 & = 0\\ 25{\left( {y + 5} \right)^2} - 16{\left( {x + 1} \right)^2} + 209 \,{\color{Red} - 625} \,{\color{ProcessBlue}+ 16} & = 0\\ 25{\left( {y + 5} \right)^2} - 16{\left( {x + 1} \right)^2} - 400 & = 0\end{align*}\]Konstantalarni yuqoriga qo'shayotganda, konstantalarni yuqoriga qo'shishdan oldin -16 ni \(x\) shartlariga va 25 ni \(y\) shartlariga ko'paytirishni unutmang.
4-qadam
Ishni tugatish uchun avval 400 ni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazamiz.
\[25{\left( {y + 5} \right)^2} - 16{\left( {x + 1} \right)^2} = 400\]Buni standart shaklga keltirish uchun bizga tenglamaning o'ng tomonidagi bittasi kerak. Buni olish uchun hamma narsani 400 ga bo'lish kifoya va biz shartlar bo'yicha biroz soddalashtirish ishlarini bajaramiz.
\[\frac{{25{{\left( {y + 5} \right)}^2}}}{{400}} - \frac{{16{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{400}} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{{{\left( {y + 5} \right)}^2}}}{{16}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 1}}\]