Asosiy tarkibga o'tish

5.3-bo'lim : Ko'p nomlilarni grafik qilish

4. Quyidagi ko‘phadning har birining grafigini chizing.

\[P\left( x \right) = {x^5} - 12{x^3} - 16{x^2} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\]
Yechim

Birinchi qadam ko'phadning nollarini va har bir nolning ko'paytmasini aniqlashdir. Bu muammo uchun ko'phad allaqachon faktorlangan.

Bizda nol va ko'paytmalarning quyidagi ro'yxati mavjud.

\[\begin{align*}x & = - 2 :{\mbox{ multiplicity 2}}\\ x & = 0 :{\mbox{ multiplicity 2}}\\ x & = 4 :{\mbox{ multiplicity 1}}\end{align*}\]

\(x = 4\) ko'pligi g'alati bo'lgani uchun biz bu nuqta a ga to'g'ri kelishini bilamiz x‑\(x\) o'qini kesib o'tadigan kesma, \(x = - 2\) va \(x = 0\) esa juft ko'plikka ega va shuning uchun biz bilamizki, bu nuqtalar \(x\) o'qiga tegadigan, lekin \(x\) o'qini kesib o'tmaydigan \(x\) kesmalariga to'g'ri keladi.

2-qadam

Funktsiya uchun \(y\)-kesishmasi: \(\left( {0,P\left( 0 \right)} \right) = \left( {0,0} \right)\). Bu holda nuqta ham \(x\)-kesishdir. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, shuning uchun biz u bilan shug'ullanishimiz kerak.

3-qadam

Koeffitsient 5th daraja a'zosi musbat va shuning uchun biz bilamizki, ko'phad o'ng uchida chegaralanmagan holda ortadi va chap uchida chegaralanmagan holda kamayadi.

4-qadam

Keyinchalik, grafik uchun bir nechta nuqtalarni tanlashimiz kerak. Biz chap va o'ng tomonda bitta nuqtani tanlaymiz va bu erda qaysi nuqtani tanlash muhim emas, shuning uchun ikkala tomondan nolga yaqin birini tanlang. Shuningdek, biz har bir nol juftligi o'rtasida nuqta tanlaymiz va yana qaysi nuqtani tanlash muhim emas, shuning uchun biz har bir nol juftining o'rtasiga yaqin nuqtalarni tanlaymiz.

Mana bu ko'phad uchun funksiya baholashlari. Baholarni tekshirishni sizga qoldiramiz.

\[P\left( { - 3} \right) = - 63\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( { - 1} \right) = - 5\hspace{0.25in}P\left( 2 \right) = - 128\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {4.1} \right) = 62.55\]

O'ng tomondagi nuqta uchun biz 4.1 ni tanladik, chunki grafik juda tez kattalashdi va bu grafik shkalasini oqilona saqlashning yagona yo'li edi.

5-qadam

Va nihoyat, bu erda ko'phadning qisqacha eskizi.

The graph of \(P\left( x \right) = {x^5} - 12{x^3} - 16{x^2} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\). The graph comes up steeply from the lower left, rises to just touch the x-axis at \(\left( { - 2,0} \right)\) without crossing it, turns back down slightly and then comes back up to just touch the x-axis again at the origin, again without crossing it. It then drops steeply to a deep valley near \(x = 3\) before rising sharply and crossing the x-axis at \(\left( {4,0} \right)\). The extra points that were computed are marked and labeled and they are \(\left( { - 3, - 63} \right)\), \(\left( { - 1, - 5} \right)\), \(\left( {2, - 128} \right)\) and \(\left( {4.1,62.55} \right)\).

E'tibor bering, sizning grafikingiz bunga o'xshamasligi mumkin.

Bu kompyuter tomonidan yaratilgan grafik va shuning uchun juda aniq. Faqat algebra texnikasidan foydalanish bunday aniqlikka yaqinlashish juda qiyin bo'lishi mumkin. Bu, ayniqsa, grafikning \(x = 2\) va \(x = 4\) o'rtasidagi qismiga to'g'ri keladi. Agar siz \(x = 3\)-dagi nuqtani tekshirishni tanlagan bo'lsangiz, bu qismni to'g'ri olasiz, bu aniq tanlov emas.

Grafikingizning asosiy harakati to'g'ri bo'lsa va sizda qo'shimcha nuqtalar to'g'ri chizilgan bo'lsa, sizda tezkor eskiz uchun ishlash uchun haqiqiy grafikga etarlicha yaqin bo'lgan narsa bo'lishi kerak.

Qiziqqanlar uchun, ko'phadning aniqroq eskizini yaratishga imkon beruvchi Calculus sinfidan bir nechta texnikalar mavjud!