4.8-bo'lim : Ratsional funktsiyalar
4. Quyidagi funksiya grafigini chizing. Barcha kesishmalar va asimptotalarni aniq belgilang.
\[f\left( x \right) = \frac{{4{x^2} - 36}}{{{x^2} - 2x - 8}}\]Yechim
Keling, avval ushbu funksiya uchun kesishmalarni topamiz.
\(y\)-kesish nuqtasi \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) = \left( {0,\frac{9}{2}} \right)\) nuqtasidir.
\(x\)-kesishmalar uchun biz numeratorni nolga tenglashtiramiz va hal qilamiz. Bu muammo uchun buni qilish,
\[4{x^2} - 36 = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{x^2} = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \pm 3\]Shunday qilib, ushbu muammo uchun ikkita \(x\)-kesishmalar \(\left( { - 3,0} \right)\) va \(\left( {3,0} \right)\) hisoblanadi.
2-qadam
Biz har qanday vertikal asimptotalarni maxrajni nolga tenglashtirib, yechish orqali topishimiz mumkin. Bu funksiya uchun buni qilish,
\[{x^2} - 2x - 8 = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 2,\,\,\,\,x = 4\]Shunday qilib, biz \(x = - 2\) va \(x = 4\) da ikkita vertikal asimptotaga ega bo'lamiz.
3-qadam
Bu tenglama uchun \(x\) ning pay va maxrajdagi eng katta ko‘rsatkichi 2 ga teng. Demak, bu muammoning gorizontal asimptoti hisobdagi \({x^2}\) koeffitsienti maxrajdagi \({x^2}\) koeffitsientiga bo‘linadi. Yoki,
\[y = \frac{4}{1} = 4\]4-qadam
2-bosqichdan biz faqat ikkita vertikal asimptotaga ega ekanligimizni ko'rdik va shuning uchun bizning grafikimizda uchta hudud bor: \(x < - 2\), \( - 2 < x < 4\) va \(x > 4\).
Har bir mintaqada gorizontal asimptotadan yuqori yoki past bo'lishini aniqlash uchun bizga nuqta kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, biz eslatmalarda muhokama qilganimizdek, o'rta mintaqada bir nechta turli xil xatti-harakatlar mavjud. Xulq-atvorning nima ekanligini aniqlash uchun biz ushbu mintaqada bir nechta ball olishimiz kerak. O'rta mintaqadagi nuqtalar uchun eng yaxshi g'oya - vertikal asimptotalarga yaqin bo'lgan bir nechta nuqtani tekshirish, biz bilamizki, chekka gorizontal asimptotadan yuqori yoki past bo'ladimi.
Bu erda ballar uchun ba'zi funktsiyalarni baholash.
\[\begin{align*}f\left( { - 3} \right) & = 0 & \to \hspace{0.25in} & \left( { - 3,0} \right)\\ f\left( { - 1} \right) & = \frac{{32}}{5} & \to \hspace{0.25in} & \left( { - 1,\frac{{32}}{5}} \right)\\ f\left( 3 \right) & = 0 & \to \hspace{0.25in} & \left( {3,0} \right)\\ f\left( 5 \right) & = \frac{{64}}{7} & \to \hspace{0.25in} & \left( {5,\frac{{64}}{7}} \right)\end{align*}\]Ikkinchi va uchinchi nuqtalardan biz o'rta mintaqadagi egri chiziq o'ng chetidagi gorizontal asimptotadan pastda va chap chetidagi gorizontal asimptotadan yuqori bo'lishi kerakligini ko'ramiz va shuning uchun egri chiziq bu mintaqadagi gorizontal asimptotani kesib o'tadi.
Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda ikkita \(x\)-kesishmasidan foydalanganmiz, chunki ular foydalanish nuqtalari uchun yaxshi tanlov bo'lib ishlagan.
5-qadam
Mana yuqorida topilgan nuqtalar bilan funksiyaning eskizi. Vertikal va gorizontal asimptotlar ko'k chiziqli chiziqlar bilan ko'rsatilgan.
