4.8-bo'lim : Ratsional funktsiyalar
3. Quyidagi funksiya grafigini chizing. Barcha kesishmalar va asimptotalarni aniq belgilang.
\[f\left( x \right) = \frac{8}{{{x^2} + x - 6}}\]Yechim
Keling, avval ushbu funksiya uchun kesishmalarni topamiz.
\(y\)-kesish nuqtasi \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) = \left( {0, - \frac{4}{3}} \right)\) nuqtasidir.
\(x\)-kesishmalar uchun biz numeratorni nolga tenglashtiramiz va hal qilamiz. Biroq, bu holda surat doimiy (ayniqsa 8) va shuning uchun hech qachon nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun bu funktsiyada \(x\)-kesishmalar bo'lmaydi.
2-qadam
Biz har qanday vertikal asimptotalarni maxrajni nolga tenglashtirib, yechish orqali topishimiz mumkin. Bu funksiya uchun buni qilish,
\[{x^2} + x - 6 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = - 3,\,\,\,\,x = 2\]Shunday qilib, biz \(x = - 3\) va \(x = 2\) da ikkita vertikal asimptotaga ega bo'lamiz.
3-qadam
Bu tenglama uchun \(x\) ning numeratordagi eng katta ko'rsatkichi nolga teng, chunki pay doimiydir. \(x\) ning maxrajdagi eng katta ko‘rsatkichi 2 ga teng, bu hisobdagi eng katta ko‘rsatkichdan kattaroqdir va shuning uchun \(x\) o‘qi gorizontal asimptota bo‘ladi.
4-qadam
2-bosqichdan biz faqat ikkita vertikal asimptotaga ega ekanligimizni ko'rdik va shuning uchun bizning grafikimizda uchta hudud bor: \(x < - 3\), \( - 3 < x < 2\) va \(x > 2\).
Har bir mintaqada gorizontal asimptotadan yuqori yoki past bo'lishini aniqlash uchun bizga nuqta kerak bo'ladi.
Bundan tashqari, biz eslatmalarda muhokama qilganimizdek, o'rta mintaqada bir nechta turli xil xatti-harakatlar mavjud. Xulq-atvorning nima ekanligini aniqlash uchun biz ushbu mintaqada bir nechta ball olishimiz kerak. O'rta mintaqadagi nuqtalar uchun eng yaxshi g'oya - vertikal asimptotalarga yaqin bo'lgan bir nechta nuqtani tekshirish, biz bilamizki, chekka gorizontal asimptotadan yuqori yoki past bo'ladimi.
Bu erda ballar uchun ba'zi funktsiyalarni baholash.
\[\begin{align*}f\left( { - 4} \right) & = \frac{4}{3} & \to \hspace{0.25in} & \left( { - 4,\frac{4}{3}} \right)\\ f\left( { - \frac{5}{2}} \right) & = - \frac{{32}}{9} & \to \hspace{0.25in} & \left( { - \frac{5}{2}, - \frac{{32}}{9}} \right)\\ f\left( {\frac{3}{2}} \right) & = - \frac{{32}}{9} & \to \hspace{0.25in} & \left( {\frac{3}{2}, - \frac{{32}}{9}} \right)\\ f\left( 3 \right) & = \frac{4}{3} & \to \hspace{0.25in} & \left( {3,\frac{4}{3}} \right)\end{align*}\]Ikkinchi va uchinchi nuqtalardan biz o'rta mintaqadagi egri chiziq gorizontal asimptotadan past bo'lishi kerakligini ko'ramiz (bu muammo uchun \(x\) o'qi) ikkala chetida va shuning uchun egri chiziq butun mintaqada gorizontal asimptotadan butunlay past bo'ladi.
5-qadam
Mana yuqorida topilgan nuqtalar bilan funksiyaning eskizi. Vertikal asimptota ko'k chiziq bilan ko'rsatilgan va gorizontal asimptota faqat \(x\) o'qi ekanligini eslang.
