4.3-bo'lim : Ellipslar
5. Tenglamaning \(x\) va \(y\) qismlaridagi kvadratni to‘ldiring va tenglamani ellips tenglamasining standart ko‘rinishiga yozing.
\[9{x^2} + 126x + 4{y^2} - 32y + 469 = 0\]Yechim
Bu yerdagi jarayon biz avvalgi bobda parabola tenglamalarini standart shaklda yozish uchun ishlatgan jarayonga juda o'xshash bo'ladi. Biz uni biroz o'zgartiramiz va qo'shimcha bir yoki ikki qadam qilishimiz kerak, ammo bu jarayonga juda o'xshash.
Birinchi qadam \({x^2}\) va \({y^2}\) koeffitsientlari bitta ekanligiga ishonch hosil qilishdir. \({x^2}\) 9 koeffitsientiga ega, \({y^2}\) esa 4 koeffitsientiga ega va shuning uchun biz ularning har biriga g'amxo'rlik qilishimiz kerak. Biz qiladigan narsa \(x\) ishtirokidagi har bir atamaga 9 ni va \(y\) ni o'z ichiga olgan har bir atamaga 4 ni ko'paytiramiz. Shunday qilib,
\[9\left( {{x^2} + 14x} \right) + 4\left( {{y^2} - 8y} \right) + 469 = 0\]E'tibor bering, parabola ishidan farqli o'laroq, biz \(x\) va/yoki \(y\) atamalarini nima hisobga olishimizdan qat'i nazar, doimiy atamadan hech narsani hisobga olmaymiz.
2-qadam
Endi kvadratni to'ldirishni boshlaylik. Birinchidan, bizga \(x\) va \(y\) atamalarining yarmi koeffitsienti kerak, har birining kvadrati va bu raqamlarni tegishli joylarda quyidagi tarzda qo'shish/ayirish,
\[\require{color} {\left( {\frac{{14}}{2}} \right)^2} = {\left( 7 \right)^2} = \,{\color{Red} 49 } \hspace{0.25in}{\left( {\frac{{ - 8}}{2}} \right)^2} = {\left( { - 4} \right)^2} = \,{\color{ProcessBlue} 16}\] \[\require{color} 9\left( {{x^2} + 14x \,{\color{Red} + 49 - 49}} \right) + 4\left( {{y^2} - 8y \,{\color{ProcessBlue}+ 16 - 16} } \right) + 469 = 0\]Bu raqamlarni qo'shish/ayirishda ehtiyot bo'ling va ularni qavs ichiga qo'yganingizga ishonch hosil qiling!
3-qadam
Keyinchalik, biz \(x\) va \(y\) shartlarini faktorga kiritishimiz va barcha konstantalarni qo'shishimiz kerak.
\[\require{color} \begin{align*}9\left( {{{\left( {x + 7} \right)}^2} \,{\color{Red} - 49}} \right) + 4\left( {{{\left( {y - 4} \right)}^2} \,{\color{ProcessBlue}- 16}} \right) + 469 & = 0\\ 9{\left( {x + 7} \right)^2} + 4{\left( {y - 4} \right)^2} + 469 \,{\color{Red} - 441} \,{\color{ProcessBlue}- 64} & = 0\\ 9{\left( {x + 7} \right)^2} + 4{\left( {y - 4} \right)^2} - 36 & = 0\end{align*}\]Konstantalarni qo'shayotganda, konstantalarni qo'shishdan oldin 9 ni \(x\) shartlariga va 4 ni \(y\) shartlariga ko'paytirishni unutmang.
4-qadam
Ishni tugatish uchun avval 36 ni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazamiz.
\[9\left( {{{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right) + 4\left( {{{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right) = 36\]Buni standart shaklga keltirish uchun bizga tenglamaning o'ng tomonidagi bittasi kerak. Buni olish uchun biz hamma narsani 36 ga bo'lishimiz kerak va biz shartlar bo'yicha biroz soddalashtirish ishlarini qilamiz.
\[\frac{{9\left( {{{\left( {x + 7} \right)}^2}} \right)}}{{36}} + \frac{{4\left( {{{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right)}}{{36}} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {y - 4} \right)}^2}}}{9} = 1}}\]