4.3-bo'lim : Ellipslar
4. Tenglamaning \(x\) va \(y\) qismlaridagi kvadratni to‘ldiring va tenglamani ellips tenglamasining standart ko‘rinishiga yozing.
\[{x^2} + 8x + 3{y^2} - 6y + 7 = 0\]Yechim
Bu yerdagi jarayon biz avvalgi bobda parabola tenglamalarini standart shaklda yozish uchun ishlatgan jarayonga juda o'xshash bo'ladi. Biz uni biroz o'zgartiramiz va qo'shimcha bir yoki ikki qadam qilishimiz kerak, ammo bu jarayonga juda o'xshash.
Birinchi qadam \({x^2}\) va \({y^2}\) koeffitsientlari bitta ekanligiga ishonch hosil qilishdir. \({x^2}\) uchun bizda allaqachon bitta koeffitsient bor va shuning uchun biz bu bilan hech narsa qilishimiz shart emas. Biroq \({y^2}\) 3 koeffitsientiga ega va shuning uchun biz bunga g'amxo'rlik qilishimiz kerak. Biz qiladigan narsa \(y\) bilan bog'liq har bir atamadan 3 tasini ko'paytiramiz. Shunday qilib,
\[{x^2} + 8x + 3\left( {{y^2} - 2y} \right) + 7 = 0\]E'tibor bering, parabola ishidan farqli o'laroq, biz \(x\) va/yoki \(y\) atamalaridan nimalarni hisobga olishimizdan qat'i nazar, doimiy atamadan hech narsani hisobga olmaymiz.
2-qadam
Endi kvadratni to'ldirishni boshlaylik. Birinchidan, bizga \(x\) va \(y\) atamalarining yarmi koeffitsienti kerak, har birining kvadrati va bu raqamlarni tegishli joylarda quyidagi tarzda qo'shish/ayirish,
\[\require{color}{\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = {\left( 4 \right)^2} = {\color{Red} 16 } \hspace{0.25in}{\left( {\frac{{ - 2}}{2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = {\color{ProcessBlue} 1}\] \[\require{color}{x^2} + 8x \,{\color{Red} + 16 - 16} + 3\left( {{y^2} - 2y \,{\color{ProcessBlue} + 1 - 1}} \right) + 7 = 0\]\(y\) atamasi bilan ehtiyot bo'ling! Qo'shish/ayirish paytida uni qavs ichiga qo'yganingizga ishonch hosil qiling!
3-qadam
Keyinchalik, biz \(x\) va \(y\) shartlarini faktorga kiritishimiz va barcha konstantalarni qo'shishimiz kerak.
\[\require{color}\begin{align*}{\left( {x + 4} \right)^2} \,{\color{Red} - 16} + 3\left( {{{\left( {y - 1} \right)}^2} \,{\color{ProcessBlue} - 1}} \right) + 7 & = 0\\ {\left( {x + 4} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} + 7 \,{\color{Red} - 16} \,{\color{ProcessBlue} - 3} & = 0\\ {\left( {x + 4} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} - 12 & = 0\end{align*}\]Konstantalarni yuqoriga qo'shayotganda, konstantalarni qo'shishdan oldin 3 ni \(y\) shartlariga ko'paytirishni unutmang.
4-qadam
Ishni tugatish uchun avval 12 ni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazamiz.
\[{\left( {x + 4} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 12\]Buni standart shaklga keltirish uchun bizga tenglamaning o'ng tomonidagi bittasi kerak. Buni olish uchun hamma narsani 12 ga bo'lish kifoya va biz \(y\) atamasi bo'yicha biroz soddalashtirish ishlarini bajaramiz.
\[\frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{3{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{12}} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{4} = 1}}\]